舉例說明如何使用卡方檢驗分析苔蘚植物的生長狀態與環境條件的關聯性
以下是一個使用卡方檢驗分析苔蘚植物的生長狀態與環境條件關聯性的例子：
一、實驗背景
假設我們進行了一項關于苔蘚植物的實驗，研究不同的土壤濕度條件（高濕度、中濕度、低濕度）對苔蘚植物生長狀態（良好、一般、較差）的影響。
二、數據收集
在實驗中，我們觀察并記錄了不同土壤濕度條件下苔蘚植物的生長狀態，得到如下數據：
土壤濕度
生長狀態良好
生長狀態一般
生長狀態較差
總計
高濕度
30
20
10
60
中濕度
25
30
15
70
低濕度
15
25
20
60
總計
70
75
45
190
三、卡方檢驗步驟
提出假設：
零假設（H?）：苔蘚植物的生長狀態與土壤濕度條件無關。
備擇假設（H?）：苔蘚植物的生長狀態與土壤濕度條件有關。
計算期望頻數：
對于每個單元格，期望頻數 = （該單元格所在行的總計 × 該單元格所在列的總計）÷ 總樣本數。
例如，高濕度且生長狀態良好的期望頻數 = (60×70)÷190 ≈ 22.11。
計算得到的期望頻數如下表：
土壤濕度
生長狀態良好
生長狀態一般
生長狀態較差
總計
高濕度
22.11
23.68
14.21
60
中濕度
25.26
26.84
17.90
70
低濕度
22.63
24.48
16.89
60
總計
70
75
45
190
計算卡方值：
卡方值（χ2）= Σ[(實際頻數 - 期望頻數)2÷ 期望頻數]。
例如，對于高濕度且生長狀態良好的單元格，[(30 - 22.11)2÷22.11] ≈ 2.74。
計算得到卡方值為：
χ2 = 2.74 + (20 - 23.68)2÷23.68 +...（依次計算每個單元格）≈ 10.52。
確定自由度和臨界值：
自由度 = (行數 - 1)×(列數 - 1)，在這個例子中，自由度 = (3 - 1)×(3 - 1) = 4。
查閱卡方分布表，對于給定的顯著性水平（通常為 0.05），確定臨界值。假設在自由度為 4 時，臨界值為 9.49。
做出決策：
如果計算得到的卡方值大于臨界值，則拒絕零假設，即認為苔蘚植物的生長狀態與土壤濕度條件有關；如果卡方值小于臨界值，則不拒絕零假設。
在這個例子中，卡方值 10.52 大于臨界值 9.49，所以我們拒絕零假設，認為苔蘚植物的生長狀態與土壤濕度條件有關。
四、結論
通過卡方檢驗，我們得出結論：苔蘚植物的生長狀態與土壤濕度條件存在關聯性。在后續的研究中，可以進一步深入分析不同濕度條件下苔蘚植物的具體生長表現和適應機制。
