第二節 特征值和特征矢量
一、 矩陣的特征值
若矩陣右乘1個矢量后得到的新矢量恰好與原矢量成比例，則稱該比例常數為這個矩陣的1個特征值，稱該矢量為對應于這個特征值的特征矢量。例如有矩陣A
A=
具有性質：
=4×
表明矩陣A有1個特征值為4，相應特征矢量為(2 1 0)T。
矩陣A的特征值 和對應的右特征矢量q的代數方程是：
A·q= ·q,
該方程是可相乘的，所以A必定是方陣，因此只有方陣才有特征值。
當A是n階方陣時，上述方程的一般形式為：
(A- ·I)·q=0
任何非平凡解(q=0為平凡解)都必須滿足：
=0
此特征方程有一般形式：
據此求解特征值的方法并不是一個好方法。
特征值具有下列性質：
(1) 特征方程可以分解因式為：
(A-3)
即n階矩陣有n個(可相等也可不相等)特征值。
(2) 矩陣對角元素之和稱叫該矩陣的跡(trace),記作tr(A)：
tr(A)= ，
即矩陣特征值的和等于該矩陣的跡。
(3) ，
即矩陣特征值的乘積等于該矩陣行列式的值。如果矩陣是奇矩陣，則矩陣中至少有一個特征值為0。
(4) 矩陣行列式的值與它的轉置矩陣的行列式值相等，因而轉置矩陣有相同的特征值。
(5) 一個實矩陣得到的特征方程必定有實系數。因此實矩陣的特征值必定是實數或是共軛復數。
(6) 實對稱矩陣A的所有特征值都必定是實數。這也就是說可用實數形式寫出其特征矢量。
(7) 三角矩陣的行列式值是其對角元素的乘積。如果A是三角陣，則：
與式(A-3)比較可見，三角矩陣的特征值(對角矩陣也同樣)等于其對角元素。
(8) 如果矩陣的行及對應的列之間同時交換，則其特征值保持不變。
(9) 如果矩陣某行乘以f且對應列乘以1/f，則矩陣的特征值不變。
二、 矩陣的特征矢量
除虧損矩陣(矩陣有2個或更多個相等的特征值只對應一個左或右特征矢量)外，矩陣的每個特征值都獨立對應一個滿足方程：A·q= ·q的右特征矢量。可用消去法求解每一個特征矢量。例如上述方程式中 =1時的右特征矢量求解如下：
=
化為上三角矩陣后，得：q1=q2=2q3。由于方程 ，奇異，方程有無窮多組解，又右端項為0，齊次，必定有解。故任何一個矢量q滿足A·q= ·q時，則該矢量的某個倍數也一定滿足。
求解一個高階非對稱滿秩矩陣的每個特征矢量大約需n3/3次乘法，計算量很大。
可以把全部特征值及對應的右特征矢量組合成一個標準特征值方程：
A(q1 q2 … qn)= (q1 q2 … qn) ，
即AQ=QA。同理，也有左特征矢量。
A和AT具有同樣的特征矢量。對于每一個與A的某一個特征矢量對應的特征值也都有AT的一個特征矢量p,使得：
ATp= ·p
轉置該方程。特征矢量p可看作是A的一個左特征矢量：
pTA= ·pT
矩陣方程式A·q= ·q,的全部特征值解列于表A-1中。
表A-1 特征值和左右特征矢量
左特征矢量 特征值 右特征矢量
(7 –10 6)T 4 (2 1 0)T
(-1 2 -1)T 1 (2 2 1)T
(1 –2 2)T -8 (-2 1 4)T
對稱矩陣的轉置仍是它自身。左右特征矢量相同，不必加以區分。表A-2為一例，其特征矢量一已數乘，使最大元素之值為1。
表A-2 對稱矩陣的特征值和特征矢量
矩陣 特征值 右特征矢量
92-1 (1 1 1)T(1 –1 0)T(-0.5 –0.5 1)T
三、 對稱矩陣特征矢量的正交性條件
設qi和qj是某一對稱矩陣A的特征矢量，對應于不同的特征值 和 ，則
和
轉置第2個方程： 。經簡單變換后有：
和 ，
因為 ，因此2個方程能相容的唯一可能是： 。其中 ，稱為特征矢量的正交性條件。
如果把每個特征矢量都乘以適當倍數使下式成立：
。
先不考慮有相同特征值的可能性，正交條件組合成：
用Q表示特征矢量的集合，即Q= ,則有：
QTQ=I=QQT。
任何滿足該方程的實矩陣Q稱正交矩陣。
正交矩陣具有重要性質：Q-1=QT。因此，Q不是奇異的。
任何矢量都可以表示成一個對稱矩陣的特征矢量的線性組合：
，
即：
X=QC 故 C=QTX。
由正交條件可知：
AQ=QA (QTQ=I)，
A=QAQT