矩陣基本知識(化學計量學必備)一

矩陣方法的問世，為描述冗長復雜的計算提供了一種簡明的方法。矩陣運算的標準程序適用于所有的計算機。化學測量數據不論一維，二維還是三維，均可表示成矩陣。矩陣的有關運算不僅是化學計量學工作這不掌握矩陣代數的有關知識，就不可能掌握各種化學計量學方法的內涵和實質。附錄A對基礎化學計量學中常用到的矩陣基本知識作簡要介紹，以使讀者節約更多的時間學習化學計量學的主要內容。

數據排列成矩陣形的陣列叫矩陣。這些數據稱作矩陣的元素。元素的形式是多種多樣的，它可以是實數、復數、代數表達式，也可以是矩陣本身或矩陣表達式。矩陣的運算只涉及具有數值形式的矩陣。

第一節 矩陣的簡單運算

一、 加法和數乘

當2個矩陣具有同樣的階數時(行和列相等)可以相加。設：

A=(aij)和B=(bij) (i=1,2,3,……n;j=1,2,3,……m)

則矩陣加法為：

C=A+B=(aij+bij)

若用一個常數k去乘，即數乘矩陣，有:

C=kA=(kaij)

例如設：

A= 和B= ， (A-1)

則有：

C=A+B= =

和：

D=3B=

二、 矩陣乘法

如果第1個矩陣的列數等于第2個矩陣的行數，則這2個矩陣可以相乘。設A為n×m階矩陣，B為m×p階矩陣，則矩陣A與B的點積C為階矩陣。有乘法:

C=An×mBm×p=(cij)=

例如設：

A= 和B= ，

則：C=AB= =

其中：c31=(3×1+2×1+4×1+6×1+0×1)=15

一般AB不等于BA。因此，相乘的次序不能顛倒。即使能夠相乘，結果一般也不相等。

三、 矩陣的轉置和對稱性

一個矩陣的轉置矩陣由對換原矩陣的行和列而得。即第i行變成i列，第i列變成i行。轉置矩陣記為AT。例如矩陣式(A-1)中A的轉置矩陣是及B的轉置矩陣BT:

AT= 和BT=

若一個方陣(行和列相等的矩陣)對所有的i和j，都有aij=-aji，則稱該方陣為對稱矩陣，說該方陣關于主對角線對稱，對稱矩陣的轉置是它轉置矩本身。即AT=A。

若矩陣A中，aij=-aji，且主對角線元素aii=0，就稱它是反對稱矩陣，因此AT=-A。

任何方陣都可以分解為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和。即：

A= (A+AT)+ (A-AT),

其中第一項是對稱的，第二項是反對稱的。

四、 某些特殊矩陣

行矩陣與列矩陣 只有一行或一列的矩陣，又稱行矢量或列矢量。

零矩陣 矩陣中各元素都為0的矩陣。

對角矩陣 一個方陣的非零元素只出現在主對角線上，即i≠j時，aij=0。對角矩陣的重要性質是它能應用于對行或列進行變換。用一個可相乘的對角陣左乘一個矩陣時，其結果就是用對角矩陣中的相應元素去乘該陣的每一行。同理，用一個對角陣右乘一個矩陣時，其結果就是用對角陣中的相應元素去乘該陣的每一列。

單位矩陣 主對角元素為1，其它元素為零的矩陣。常記為I。且有：

AI=IA=A

三角矩陣 對角元以下元素為0的矩陣稱上三角矩陣;對角元以上的元素為0的矩陣稱下三角矩陣。

五、 矩陣的逆

記方陣A的逆為A-1。其意義為AA-1=I，變換該式：

AA-1A=IA=AI，

故有：

A-1A=I

方程組的解可用矩陣逆表示。當AX=B時，AA-1X=A-1B，故有X=A-1B。

矩陣求逆通常采用削去法。

應當指出的是，矩陣求逆是一個有用的代數概念，而不應該認為它有助于數值計算。求逆解方程組的過程比直接求解原方程要花費更多的計算量。除非特別需要逆矩陣或計算效率無關緊要時，應力求避免矩陣的求逆計算。

六、 矩陣表達式的轉置和求逆

矩陣轉置和逆具有有如下性質：

(1)(AT)T=A;(A-1)-1=A;(A-1)T=(AT)-1;

(2)若D=ABC，則DT=CTBTAT(矩陣轉置反向規則);

(3)若D=ABC，則D-1=C-1B-1A-1(矩陣求逆反向規則);

(4)推論：C=ATA總是對稱的。證明：CT=(ATA)T=ATA=C;

(5)若B是對稱的，則C=ATBA也是對稱的;

(6)對稱矩陣的逆也是對稱的。

七、 矩陣的秩

構成一個矩陣的線性無關的矢量數目稱為它的秩。例如矩陣：

(A-2)

有以下關系：(第3行)=-(第1行)-2×(第2行);

同樣也有：

(第3列)=(第1列)-0.25×(第2列);

(第4列)=-(第1列)+0.75×(第2列)。

顯然，無論是從行還是從列看，它都是只有2個線性無關的矢量。或者說矩陣中只有兩行或兩列是獨立的，另一列(行)總可以用其他兩列(行)線性表示。故矩陣的秩等于2。

2個矩陣的乘積矩陣的秩必定小于或等于其中任意一個矩陣的秩。例如：

=

以及：

=

推論 若矩陣秩為R，則其任何矩陣因子的維數必定大于等于R。例如矩陣(A-2)可以分解為：

=

但不能分解為一個3×1和一個1×4的矩陣的積。

子式定義為從矩陣中取出相同數目的行和列得到的行列式。從(A-2)矩陣中的第2，3行和第2，4列取得的子式為：

=-4

如果一個矩陣的秩為R，則至少有一個R階非0子式，而任何大于R階的子式的值為0。因為舍入誤差往往會攪亂用數值方法對秩的研究，所以依據實際問題的物理性質來確定矩陣的秩是很重要的。

矩陣的秩在化學計量學中是一個很有用的概念。往往根據對秩的研究，以及對化學測量誤差與計算誤差的考慮來考察分析測量數據，從而確定分析體系的組分數等信息。