淺談在人體動脈樹的血液流動的數值模擬

人的生存的分分秒秒都離不開血液循環。在成年人的循環系統里有約5升的血液存于大大小小的血管之中，其中在靜脈系統的血液占2/3. 現在我們知道血壓在靜脈遠低于動脈，而且流動也遠為平緩。相應的靜脈血管比動脈薄些，更有彈性一些，就是為了儲存較多的血液。

驅動血液流動的力量絕大部分來自心臟的搏動。整個血液循環系統我們可以問方方面面很多問題。比如至少要多大的壓差（從左心室到右心房）才能保證循環？為什么血流在動脈會是一波一波的？為什么有些大靜脈有閥，而動脈沒有？等等。

這 些問題的回答，必須用到血流動力學(hemodynamics)的知識。這是一門是用力學的規律來研究血液循環的學科。其實，人類對自己血流規律的探索可 以追溯到史前。但正確揭示循環從動脈到毛細血管到靜脈原理的人是十七世紀的英國生理學家哈維(William Harvey)。而用嚴格數學公式來定義血流的人大概始于大數學家歐拉。他用了兩個偏微分方程來描述（無粘度）血流的一維流動。



第 一，二個方程分別是質量及動量守恒定律。為什么我要提到歐拉呢？因為此文顯示的血流模擬正是用到歐拉方程的一個變化形式。這個看似簡單的方程其實并不容易 解決（事實上歐拉無法找出它的解）。 隨著電腦及數值方法的發展，我們現在可以用數值方法來解這個方程。具體細節此文不贅述。下圖為用電腦來模擬人體動脈樹的血液流動：在心臟周期起始，心臟血 壓為最高，然后沿血管逐漸降低。




參考文獻：

【1】 Smith, N. P., Pullan, A. J. & Hunter, P. J. (2002), `An anatomically based model of transient coronary blood flow in the heart', SIAM Journal of Applied Mathematics 62(3), 990-1018.
【2】Ho, H., Mithraratne, K., Mabotuwana, T. & Hunter, P. (2009), 'A software tool for hemodynamics modeling in large vasculatures',  IFMBE Proceedings 25/IV, pp. 97-100.